If 65537 is the last Fermat prime, then sin(pi/65537), which would be
the Y-coordinate of one of the vertices of a 65537-gon, is special for
being the smallest "interesting" constructible length.  The value of
the constant, which is also given here as a benchmark of a computer
around 2004, is approximately:

% bc -v
bc 1.06
Copyright 1991-1994, 1997, 1998, 2000 Free Software Foundation, Inc.
% echo 'scale=4000;s(4*(4*a(1/5)-a(1/239))/65537)' | /usr/bin/time bc -l
.0000479361681551891002604768445266819618119128679079201833554049394\
52499470406775369597422916841604936490671732239026566736781460948941\
95358804717218688016787886684761182995676250577400187315597292918709\
19804831109921519846209371030866234118823399399787820688882809226756\
29269809351791281217183087834921832835525977177839980794023949882221\
37138746022681275346131973638855808390260383414685595237596473989319\
29213583611864570110309265925890116406079053006574757953378044146153\
65361536099258435497216062350531453961362409125411008270929966444374\
04693046791634645657540246805224533617562662777510204799751066135978\
17570514815705085738229493345301135410483263345177060918959860904380\
26154050181041785469044920046912386925570931633070099554673667382065\
59361425393994127927408604342744685357772740412751143353985839059547\
99190871272315969483727697737422013002502897005082387259557251924538\
47302275490721579292809056885891871281617354540417677219216296036283\
78916608462595013732436674212097540760929002170510929603172777551313\
31960047232069784250334085960506079626726886212184864629641250913988\
03394011034254894260588972637020799200731974159781623265501891266117\
17775247077465311606159960705143429938246904058681025173668544314450\
89174266585693708207439240263777217316706118553199659219002953341640\
91091499113745852322189675411391559239636214569992149755721441305524\
11248366845779786469476281452647217831962313706051827676738115746526\
78303363975178328268652653638666186899951808278174682637719520936912\
27935586716702063747282382049732477767427199807129265905582081098957\
85658213301646761572987126385303357849565049265119568151057986823294\
81602247789799782800028088411469519350050723388586417285468211366989\
68711245878645129218337721097060748148676874965897703993111046156983\
76836446211974613785611653345981409696364979316757727912351756643117\
90284417923065924665145393469772755138088607057232380939567345515022\
25535342387600127638858730562674768923649942378868540423729565787600\
94991403494200194462798506310708523605024164723950557617869763771701\
28385993521614396954438920348617492621375288177776502552192930856573\
57276659552590270991109780691620056704909036643641660332428409957930\
72972362551292776894860768469685298119047403830553085579328114441197\
51941554167693194758972420938872864764389098149566957871428289945352\
90524561352964689411106825936350359329748309737135466845414402539534\
13172953845672065680254540845334586737240294915798378209038680567838\
97408577927016429057836091548436287870831804037794042991094985701608\
03100341635054634421151627093590998091612218311409688953314884836812\
53746376879339311962672224351567983931721794703452734224918126396359\
80854109168874213454511251023304179754858226988862144966921338968840\
73564167953144848702658204623745095982711090529471889197606152433273\
74280860359230334751676441857276331548548379082949157491193878752962\
51656838653913606481723099752569126154391844359553056875855305649616\
06293833909645213092766508273090514828096061811740237390691195259171\
76080988865352344430358769068783882299069748163854738042602108409309\
21262608769437812533339381479596545091211793114612683551866138816148\
42231752887619584297227143783929646342545015014115899691100919270692\
46445853513887708813695050536935704009260520638558001374852072521331\
03057428279698104315802576734858404325811025773380327038085730865753\
33233214292809246074338780974792392857049502891477098793641503932775\
41835012523737044633356642948123148013812386813452139146241395961176\
97568112699033218607564073462772089112367192205800500269357227380124\
41094251498053855496751090219717436717239445113847782303772847233059\
03944541595497359395118839054918605301711606884460991627150253893504\
48498379128917018864927702045175243397317860821862912557659962930571\
02706763035419424272798469596217560540726723856817179592616713023136\
28224097808318685086594223404287602828544979714849584879574075120350\
42118284386456634923104723307250151141603685505607008097694478074319\
167175046838271727951348631639145075812459143753231075283
180.99user 0.09system 3:03.12elapsed 98%CPU (0avgtext+0avgdata 0maxresident)k
0inputs+0outputs (162major+49minor)pagefaults 0swaps